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2011 四川高考数学卷的第21题 解析几何的 第二小问 如果用蝴蝶定理来求证 该怎样解答？ PLEASE。
（18）本小题主要考查直线与椭圆的基本知识，考查分析问题和解决问题的能力。满分15分。 （Ⅰ）解：椭圆方程为x2/a2+(y-r)2/b2=1 焦点坐标为 （Ⅱ）证明：将直线CD的方程y=kx代入椭圆方程，得b2x2+a2(k1x-r)2=a2b2， 整理，得 (b2+a2k12)x2-2k1a2rx+(a2r2-a2b2)=0 根据韦达定理，得 x1+x2=2k1a2r/(b2+a2k12)， x1·x2=(a2r2-a2b2)/( b2+a2k12)， 所以x1x2/(x1+x2)=( r2-b2)/2k1r ① 将直线GH的方程y=k2x代入椭圆方程，同理可得 x3x4/(x3+x4)=( r2-b2)/2k2r ② 由①，②得k1x1x2/(x1+x2)=(r2-b2/2r=k2x3x4/(x3+x4) 所以结论成立。 （Ⅲ）证明：设点P（p，o），点Q（q，o）。 由C，P，H共线，得 (x1-p)/( x4-p)=k1x1/k2x4 解得P=(k1-k2)x1x4/(k1x1-k2x4) 由D，Q，G共线，同理可得 q=(k1-k2)x2x3/(k1x2-k2x3) 由k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4)，变形得： x2x3/(k1x2-k2x3)=x1x4/(k1x1-k2x4) 即：(k1-k2)x2x3/(k1x2-k2x3)=(k1-k2)x1x4/(k1x1-k2x4) 所以 |p|=|q|，即，|OP|=|OQ|。
解析几何之目：2022年新高考数学卷题21
已知椭圆 过点 , 离心率为 .
（1）求椭圆 的标准方程;
（2）直线 与椭圆 交于 两点，过 作直线 的垂线，垂足分别为 ，点 为线段 的中点， 为椭圆 的左焦点．求证：四边形 为梯形.
【解答问题1】
椭圆 过点
椭圆 的标准方程为： .
【解答问题2】
根据前节结论， ,
左焦点为 ,
直线 过点 , 是焦点弦；
记直线 的倾角为 , 则
代入数值可得：
∴
∴
∴
又 ∵ 直线 与 轴平行，直线 与 轴不平行，∴ 直线 与 不平行，
∴ 四边形 是梯形. 证明完毕.
【提炼与提高】
直线 过点 , 是焦点弦；借用椭圆的极坐标方程解答此题，效率是比较高的.
